Wat zijn uitbreiding van logaritmen?

Veel vergelijkingen kunnen worden vereenvoudigd door logaritmen uit te breiden.De term uitbreidde logaritmen verwijst niet naar logaritmen die uitbreiden, maar eerder naar een proces waardoor de ene wiskundige uitdrukking wordt vervangen door een andere volgens specifieke regels.Er zijn drie van dergelijke regels.Elk van hen komt overeen met een bepaalde eigenschap van exponenten omdat het nemen van een logaritme de functionele inverse van exponentiatie is: log 3 (9) ' 2 omdat 3 2 ' 9.

De meest voorkomende regel voor het uitbreiden van logaritmen wordt gebruiktafzonderlijke producten.De logaritme van een product is de som van de respectieve logaritmen: log a ( x*y ) ' log a ( x ) + log a (y).Deze vergelijking is afgeleid van de formule a x * a y ' a x+y .Het kan worden uitgebreid tot meerdere factoren: log a ( x*y*z*w ) ' log a ( x ) + log a ( y ) +log a ( z ) + log a ( w ).

Het verhogen van een getal naar een negatief vermogen is gelijk aan het verhogen van zijn wederzijds naar een positief vermogen: 5 -2 '(1/5) 2 ' 1/25.De equivalente eigenschap voor logaritmen is dat log a (1/ x ) ' -log a ( x ).Wanneer deze eigenschap wordt gecombineerd met de productregel, biedt het een wet voor het nemen van de logaritme van een verhouding: log a ( x / y ) ' log a ( x ) -Log a ( y ).

De uiteindelijke regel voor het uitbreiden van logaritmen heeft betrekking op de logaritme van een getal dat is verhoogd tot een macht.Met behulp van de productregel vindt men dat log a ( x 2 ) ' log a ( x ) + log a ( x ) ' 2*logboek A ( x ).Evenzo log a ( x 3 ) ' log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x) ' 3*log a ( x ).Log in het algemeen a ( x n ) ' n *log a ( x ), zelfs als n geen geheel getal is.

Regels kunnen worden gecombineerd om loguitdrukkingen van een complexer karakter uit te breiden.Men kan bijvoorbeeld de tweede regel toepassen om te loggen a ( x 2 y / z ), waarbij het expressielogboek wordt verkregen a ( x 2 y y) - log a (z).Vervolgens kan de eerste regel worden toegepast op de eerste term, die log a ( x 2 ) oplevert + log a ( y ) - log a ( z ).Ten slotte leidt het toepassen van de derde regel tot de uitdrukking 2*log a ( x

) + log

a ( y ) - log a ( z ). Door Logaritmen uit te breiden, kunnen veel vergelijkingen snel worden opgelost.Iemand kan bijvoorbeeld een spaarrekening openen met $ 400 US dollar.Als de account maandelijks 2 procent jaarlijkse rente betaalt, kan het aantal maanden dat nodig is voordat de rekening verdubbelt in waarde wordt gevonden met de vergelijking 400*(1 + 0,02/12) m

' 800. Deelt met 400 opbrengsten (1 + 0,02/12)

m ' 2. Het innemen van de basis-10 logaritme van beide zijden genereert het vergelijkingslogboek 10 (1 + 0,02/12) m ' log 10

(2). Deze vergelijking kan worden vereenvoudigd met behulp van de stroomregel tot m *log 10 (1 + 0.02/12) ' log 10 (2).Een rekenmachine gebruiken om de logaritmen te vinden levert m *(0,00072322) ' 0,30102.Men vindt bij het oplossen van m dat het 417 maanden zal duren voordat de rekening verdubbelt in waarde als er geen extra geld wordt gestort.