Skip to main content

Wat is de formule van Euler?

De 18e-eeuwse Zwitserse wiskundige Leonhard Euler ontwikkelde twee vergelijkingen die bekend zijn geworden als Eulers-formule.Een van deze vergelijkingen heeft betrekking op het aantal hoekpunten, gezichten en randen op een polyhedron.De andere formule relateert de vijf meest voorkomende wiskundige constanten aan elkaar.Deze twee vergelijkingen werden respectievelijk tweede en eerst gerangschikt als de meest elegante wiskundige resultaten volgens de wiskundige intelligenterder.

Eulers formule voor polyhedra wordt soms ook de stelling van Euler-Descartes genoemd.Het stelt dat het aantal gezichten, plus het aantal hoekpunten, minus het aantal randen op een polyhedron altijd gelijk is aan twee.Het is geschreven als F + V - E ' 2. Een kubus heeft bijvoorbeeld zes gezichten, acht hoekpunten en 12 randen.Pluggen op Eulers -formule, 6 + 8 - 12 doet in feite gelijk aan twee.

Er zijn uitzonderingen op deze formule, omdat het alleen waar is voor een polyhedron die zich niet snijdt.Bekende geometrische vormen, waaronder bollen, blokjes, tetrahedra en octagons zijn allemaal niet-geïnformeerde polyhedra.Een kruisende polyhedron zou echter worden gecreëerd als iemand zich zou voegen aan twee van de hoekpunten van een niet-in -ersecterende polyhedron.Dit zou ertoe leiden dat de polyhedron hetzelfde aantal gezichten en randen heeft, maar één minder vertice, dus het is duidelijk dat de formule niet langer waar is.

Anderzijds kan een meer algemene versie van de Eulers -formule worden toegepast oppolyhedra die zichzelf kruisen.Deze formule wordt vaak gebruikt in de topologie, wat de studie van ruimtelijke eigenschappen is.In deze versie van de formule is F + V - E gelijk aan een getal genaamd Eulers -kenmerk, dat vaak wordt gesymboliseerd door de Griekse letter Chi.Zowel de donutvormige torus als de Mobius-strip hebben bijvoorbeeld een Eulers die kenmerkend is voor nul.Eulers -kenmerk kan ook minder zijn dan nul.

De tweede Eulers -formule omvat de wiskundige constanten e, i, #928;, 1 en 0. e, wat vaak Eulers -nummer wordt genoemd en een irrationeel getal is dat rondom 2,72.Het denkbeeldige nummer I wordt gedefinieerd als de vierkantswortel van -1.Pi (#928;), is de relatie tussen de diameter en omtrek van een cirkel ongeveer 3.14 maar is, zoals E, een irrationeel getal.

Deze formule is geschreven als E (i*#928;) + 1 ' 0. Euler ontdekte dat if #928;werd vervangen door X in de trigonometrische identiteit e (i*#928;) ' cos (x) + i*sin (x), het resultaat was wat we nu kennen als Eulers -formule.Naast het relateren van deze vijf fundamentele constanten, toont de formule ook aan dat het verhogen van een irrationeel getal naar de kracht van een denkbeeldig irrationeel aantal kan leiden tot een reëel getal.